Nach Abschluss seiner Dirigenten-Ausbildung wurde er Meisterschüler von Yuri Simonow und Zoltán Peskó. Ferner arbeitete er als Assistent mit Dirigenten wie Heinz Holliger, Rudolf Barschai, Ivan Fischer, Alain Lombard, Rico Saccani, Pinchas Steinberg und Tamás Vasáry zusammen. 1998 gewann er den Dirigenten-Wettbewerb des Ungarischen Fernsehen und erhielt zwei Preise beim Internationalen Dmitri-Mitropoulos Wettbewerb in Athen.
Domonkos Héja gründete 1993 das Danubia Jugendsinfonieorchester, das er bis heute leitet und auf zahlreichen Tourneen dirigierte, darunter bei Festivals wie Young.Euro.Classic Berlin, dem Schleswig-Holstein Musikfestival, den Europa Kulturtagen in Frankfurt/Main, dem Como Autumn, den "Lisztomanias" Chateauroux Frankreich und dem Toblacher Mahler Festival. Im Februar 2005 nahm er mit dem Jugendorchester die zweite CD mit Werken des ungarischen Komponisten Ernö Dohnányi auf.
Domonkos Héja ist Gastdirigent der führenden ungarischen Orchester, u.a. des Budapest Philharmonic Orchestra, des Budapest Symphony Orchestra und des Matáv Hungarian Symphony Orchestra. Er gab außerdem Konzerte mit dem Slovak Philharmonic Orchestra Bratislava, dem Slovak State Philharmonic Orchestra Kosice, dem Zagreb Radio Orchestra, dem Macedonian Philharmonic Orchestra, dem Tokyo City Philharmonic Orchestra, dem Sendai Philharmonic Orchestra, dem Orchester des Konservatoriums Antwerpen sowie Orchestern in Florenz, Padua und Rom.
2001 debütierte er als Dirigent an der Budapester Oper mit Puccinis La Bohème und ist seitdem an diesem Haus regelmäßig Gast. Er leitete dort u.a. Aufführungen von "Turandot", "La Traviata", "Rigoletto", "Pique Dame" und "Lady Macbeth von Mzensk". 2002 gab er mit der Budapester Oper Gastspiele in Florenz und Rom und dirigierte Bartóks "Herzog Blaubarts Burg" mit überwältigendem Erfolg.
2005 leitete er am Theater Chemnitz die Robert-Schumann-Philharmonie und wurde unmittelbar danach zum Ersten Gastdirigenten und stellvertretenden Generalmusikdirektor berufen. Neben Konzerten dirigierte Domonkos Héja dort Opern wie "Der fliegende Holländer", "Idomeneo", "Die Zauberflöte", "Die Hochzeit des Figaro", "Cosi fan tutte", "Die Liebe zu den drei Orangen" sowie die Ballette "Dornröschen" und "Cinderella". Im Jahr 2003 wurde Domonkos Héja der Franz-Liszt-Preis verliehen, 2005 erhielt er den Artisjus-Preis für die Interpretation zeitgenössischer ungarischer Musik und darüber hinaus 2006 den László-Lajtha-Preis.
Nach einer Produktion mit dem MDR-Sinfonieorchester im Herbst 2007 (Dohnányi Sinfonie Nr. 1) folgte Domonkos Héja im April 2008 einer Wiedereinladung des Orchesters.
Sein "Debüt im DeutschlandRadio Berlin" fand am 13. Juni 2004 im Konzerthaus Berlin statt. Das Programm bestand aus der Symphonischen Dichtung "Les Préludes" von Franz Liszt, dem Konzert für Violoncello und Orchester in d-moll von Édouard Lalo mit dem Solisten Johannes Moser, dem Violinkonzert e-moll op. 64 von Felix Mendelssohn Bartholdy mit dem Solisten Ilya Gringolts und schließlich den "Tänzen aus Galánta" für Orchester von Zoltán Kodály.
Domonkos Héja gründete 1993 das Danubia Jugendsinfonieorchester, das er bis heute leitet und auf zahlreichen Tourneen dirigierte, darunter bei Festivals wie Young.Euro.Classic Berlin, dem Schleswig-Holstein Musikfestival, den Europa Kulturtagen in Frankfurt/Main, dem Como Autumn, den "Lisztomanias" Chateauroux Frankreich und dem Toblacher Mahler Festival. Im Februar 2005 nahm er mit dem Jugendorchester die zweite CD mit Werken des ungarischen Komponisten Ernö Dohnányi auf.
Domonkos Héja ist Gastdirigent der führenden ungarischen Orchester, u.a. des Budapest Philharmonic Orchestra, des Budapest Symphony Orchestra und des Matáv Hungarian Symphony Orchestra. Er gab außerdem Konzerte mit dem Slovak Philharmonic Orchestra Bratislava, dem Slovak State Philharmonic Orchestra Kosice, dem Zagreb Radio Orchestra, dem Macedonian Philharmonic Orchestra, dem Tokyo City Philharmonic Orchestra, dem Sendai Philharmonic Orchestra, dem Orchester des Konservatoriums Antwerpen sowie Orchestern in Florenz, Padua und Rom.
2001 debütierte er als Dirigent an der Budapester Oper mit Puccinis La Bohème und ist seitdem an diesem Haus regelmäßig Gast. Er leitete dort u.a. Aufführungen von "Turandot", "La Traviata", "Rigoletto", "Pique Dame" und "Lady Macbeth von Mzensk". 2002 gab er mit der Budapester Oper Gastspiele in Florenz und Rom und dirigierte Bartóks "Herzog Blaubarts Burg" mit überwältigendem Erfolg.
2005 leitete er am Theater Chemnitz die Robert-Schumann-Philharmonie und wurde unmittelbar danach zum Ersten Gastdirigenten und stellvertretenden Generalmusikdirektor berufen. Neben Konzerten dirigierte Domonkos Héja dort Opern wie "Der fliegende Holländer", "Idomeneo", "Die Zauberflöte", "Die Hochzeit des Figaro", "Cosi fan tutte", "Die Liebe zu den drei Orangen" sowie die Ballette "Dornröschen" und "Cinderella". Im Jahr 2003 wurde Domonkos Héja der Franz-Liszt-Preis verliehen, 2005 erhielt er den Artisjus-Preis für die Interpretation zeitgenössischer ungarischer Musik und darüber hinaus 2006 den László-Lajtha-Preis.
Nach einer Produktion mit dem MDR-Sinfonieorchester im Herbst 2007 (Dohnányi Sinfonie Nr. 1) folgte Domonkos Héja im April 2008 einer Wiedereinladung des Orchesters.
Sein "Debüt im DeutschlandRadio Berlin" fand am 13. Juni 2004 im Konzerthaus Berlin statt. Das Programm bestand aus der Symphonischen Dichtung "Les Préludes" von Franz Liszt, dem Konzert für Violoncello und Orchester in d-moll von Édouard Lalo mit dem Solisten Johannes Moser, dem Violinkonzert e-moll op. 64 von Felix Mendelssohn Bartholdy mit dem Solisten Ilya Gringolts und schließlich den "Tänzen aus Galánta" für Orchester von Zoltán Kodály.